Si \(\vec u=\binom{x_A}{x_B}\) et \(\vec v=\binom{y_A}{y_B}\), alors le produit scalaire de \(\vec u\) par \(\vec v\) est donné par : $$\vec u\cdot\vec v={{x_Ax_B+y_Ay_B}}$$
Trois dimensions
Pour touts vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\), \(\vec u\cdot\vec v\in{{\Bbb R}}\)
Si \(\vec u=a_1\vec\imath+a_2\vec\jmath+a_3\vec k\) et \(\vec v=b_1\vec\imath+b_2\vec\jmath+b_3\vec k\), alors $${{\vec u\cdot\vec v}}={{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}}$$
Dans le cas où \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires, $${{\vec u\cdot\vec v}}={{\lVert\vec u\rVert\times\lVert\vec v\rVert}}$$
(Vecteurs colinéaires - Colinéarité)
Produit scalaire par soi-même
Pout tout vecteur \(\vec u\), $${{\vec u\cdot\vec u}}={{\lVert\vec u\rVert^2}}$$
Vecteur normal
Le produit scalaire du vecteur \(\vec u\) par son vecteur normal \(\vec u^\perp\) est : $$\vec u\cdot{{\vec u^\perp}}={{0}}$$
(Vecteur normal)
Vecteur nul
Le produit scalaire du vecteur \(\vec u\) par le vecteur nul \(\vec 0\) est : $$\vec u\cdot{{\vec0}}={{0}}$$
(Vecteur nul)
$${{\langle{a_1,b_1}\rangle -\langle{a_2,b_2}\rangle }}={{\langle{a_1,b_1-b_2}\rangle +\langle{a_1-a_2,b_2}\rangle }}$$